R5第6回模試・数学の大問2.規則性の問題についてのポイント解説となります。
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大問2.規則性の問題です。
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白・黒、2色の正方形のタイルを規則的に並べて出来る図形の問題です。
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図形の並びはどうなっているかな?
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1番目:縦 2枚 × 横 3枚 = 6枚
2番目:縦 3枚 × 横 4枚 = 12枚
3番目:縦 4枚 × 横 5枚 = 20枚
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(1)で問われているのは5番目の枚数だからこのまま進めていくと・・。
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4番目:縦 5枚 × 横 6枚 = 30枚
5番目:縦 6枚 × 横 7枚 = 42枚
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もう答えが出たね!
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はい、順番通りに考えれば簡単でした。
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タイルの枚数をnとした式にするとどうなるかな?
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1番目をn=1とすると、縦 2枚 (n+1)× 横 3枚(n+2)となるわ。
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そうだね。なら2枚目以降も当てはめてみよう。
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2番目はn=2だから、縦 3枚 (n+1)× 横 4枚(n+2)
3番目はn=3だから、縦 4枚 (n+1)× 横 5枚(n+2)
4番目はn=4だから、縦 5枚 (n+1)× 横 6枚(n+2)
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全て当てはまるね。
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だから、5番目をn=5として、縦 6枚 (n+1)× 横 7枚(n+2)としても枚数の計算ができるわ。
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その通り!計算式は「 (n+1)(n+2) 」ということになる。・・・①
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(2)に移るよ。白のタイルの枚数が132枚になるのは何番目の図形か?
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(1)では全ての枚数だったけど(2)では色だけでしょ・・なんだか難しそう・・。
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そんなことは無いよ!(1)を意識して図形をよく見てみよう。
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あっ!全てのタイルの枚数から黒のタイル分を引けばいいんだ。
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そう!良く気付いたね。黒のタイルの規則を考えてみよう。
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1番目:縦 2枚 × 横 2枚
2番目:縦 3枚 × 横 2枚
3番目:縦 4枚 × 横 2枚
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これをnを使った形にすると・・。
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縦(n+1)× 横 2 の形になるわ。
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そう!つまり「 2(n+1) 」の式ができるんだ。・・・②
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そして、問題は全てのタイルから黒タイルを引いて132枚になる式だから・・。
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式の形は「 ① (すべてのタイルの数)- ② (黒のタイルの数) = 132枚」
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「 (n+1)(n+2) – 2(n+1) = 132」これを解けばいいのね。
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n^2+3n+2-(2n+2)=132 カッコの展開に注意して式を進めよう。
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「 n^2 + n = 132 」から、「 n^2 + n – 132 = 0 」になるのね。
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かけて「-132」、たして「+1」になる数の組み合わせを考えよう。
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132を素因数分解すると、「 2×2×3×11 」つまり「 12×11 」
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12と11のどちらかにマイナスの符号が必要になるね。
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たして+1だから小さい方の11にマイナスの符号がついて、(n+12)(n-11)=0
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これで式は解けたけど答えが2つ出たね・・。
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答えとして該当するのは自然数「n>0」だけなのよね。
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その通り!途中式には必ず「n>0より」もしくは「解は自然数となり」と明記しよう。(「○○は解としてふさわしくない」でもOK)
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はーい、わかりました!
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