R5第8回模試・数学の大問7.空間図形の問題についてのポイント解説となります。
まずは、問題・解答を持っている人はお手元にご用意ください。
解き方・考え方のポイント説明なので自分で必ず最後まで解いてくださいね。
大問7.は空間図形の問題になります。考え方、解き方を一緒に進めていきましょう。
底面の直径が24cmで高さが27cmの円柱の中に、半径12cmの球Oが入っているという設定です。
円柱と球Oは共に半径が12cmだけど、高さは27cmで直径より3cm高い。
円柱の中に球が入っている設定だけど円柱の厚みは無視ですw
(1)円柱と球Oの体積比を求めるんだね。
それぞれの体積を求める公式は分かるかな？
はい、円柱の体積は「底面積 × 高さ」です。
球の体積の公式を即答できない人が多いですが･･言えますか？
もちろん！4/3πr^3（4/3 × 円周率 × 半径の3乗）です。
正解です。しっかりと覚えておきましょう。
それぞれの体積を求める公式が確認できました。
では体積を比較するために、公式に数値を代入してみよう。
円柱： (円周率) π × (半径) 12 × (半径)12 × (高さ) 27
球O：4/3 × (円周率) π × (半径) 12 × (半径)12 × (半径)12
比の計算を簡単にするために、共通の文字と数字を省略すると･･。
円柱： (高さ) 27
球O：4/3 × (半径)12
4/3 × (半径)12 を計算して、27：16 で完成 。
(2) へ続きます。円柱の上側の底面の周上の点Pから球の中心点Oの長さを求めます。
これは真横から見た断面図を書けば、とても簡単です。
問題文の余白に想像図を書きながら考えていこう。
点Oから底面と平行な線上で、点Pと垂直に交わる点をQとします。
点O、点P、点Qをそれぞれ結ぶと、直角三角形が出来上がります。
この△OPQの辺の長さを考えていけば解答に辿り着きます。
OPの長さは球の半径(12cm) と、円柱と球の高さの差分(3cm) を足した15cmです。
そして、OQの長さですが、球Oの半径と同じで12cmです。
直角三角形で2つの辺の長さが解れば、「三平方の定理」から残りの辺の長さもわかります。
(OP)^2 ＝ (OQ)^2 + (PQ)^2 ということですね。
あとは数値を代入して計算するだけでOK。
√（ルート）のかかる計算で少し複雑なので、計算ミスをしないように！
ここまで出来ていての計算ミスはもったいなさすぎるから丁寧に･･丁寧に。
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