R5第8回模試・数学の大問6.平面図形の問題についてのポイント解説となります。
まずは、問題・解答を持っている人はお手元にご用意ください。
解き方・考え方のポイント説明なので自分で必ず最後まで解いてくださいね。
大問6.は平面図形の問題になります。考え方、解き方を一緒に進めていきましょう。
今回の平面図形の問題は円周角を利用して解を求めていくものでした。
問題の図形に円や中心点が含まれている場合、必ず円周角や中心角が関係していないかを確認しよう。
(1) は∠ACP＝50°、∠ADB＝37° のときの∠AQCを求める問題。
∠AQCということは、△CPQの外角の一つだよね。
ならば、△CPQの角度について考えよう。
PQの延長上にAがあるので、∠APCとして考えます。
円Oの直径となる線分ACの円周角は常に直角（90°）となるのだから∠APC＝90° です。
つづいて∠PCQについて、∠ADB＝37° と同じ弧ABなので∠ACB＝37° です。
そこで、∠PCA＝50° から、∠ACB＝37° を引くと、∠QCP＝13° が解ります。
残りの角も∠CQP＝77°が解りますね。問いの∠AQCは線分AP180°－77°(∠CQP) で答えが出ます。
もちろん∠CQPの外角なので、∠APC＝90° ＋∠QCP＝13° でも解けます（この方が計算は早くできます）。
(2) は BD // PC となるとき点Cと点Dを結び、△ACD ∽ △CQP を証明する問題ね。
証明問題が苦手な人！まずは図形をじっくり見て、証明に使う条件を見つけ出そう。
利用する相似条件をちゃんと確認せずに書き出すと、過不足が出たり途中で解んなくなるから･･。
問題の図形に、過程の条件やそこから分かることを様々書き込んでいこう。
解答を書くのは証明に必要な条件がすべて揃ってからね。
作文の下書きみたいなものだと考えて準備してほしい。
それでは、相似となる理由を考えよう。
まずは∠ADCについて、ACは直径なのだから、∠ADC＝90° が分かります。
円の直径に対する円周角は必ず90° だからね。
そして、∠CPCも同様に直径ACなので、∠CPC＝90° が分かります。
どちらも90°ですから、∠ADC＝∠CPCが言えますね。
問題用紙の図形上に「直角の印」を書き込もう。
続いて弧CDを意識しつつ、∠CADと∠CBDに着目して･･。
同じ弧CDの円周角だから、∠CAD＝∠CBDと図形に「同じ角度の印」を書く。
さらに、BDとPCにも「平行の印」をしっかり記すと･･。
BD // PC なので∠CBDと∠QPCが錯覚だと見易くなります。
ここで、∠CBDと∠QPCに「同じ角度の印」をつけると、印が3つあることが分かります。
つまり、∠CAD＝∠CBD＝∠QPCということですね。
ということで、∠CAD＝∠QPCが成立すると解ります。
∠ADC＝∠CPC と、∠CAD＝∠QPC が言えるということは･･対応する２組の角がそれぞれ等しい。
この条件を満たすので、相似と言えることが解りました。
さぁ！相似条件が確定したところで、書き込んだ図を確認しながら証明文を書いていこう。
うん、やっぱり図を確認しながらだと書きやすいよね～。
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