R5第6回模試・数学の大問2.規則性の問題についてのポイント解説となります。
大問2.規則性の問題です。
白・黒、2色の正方形のタイルを規則的に並べて出来る図形の問題です。
図形の並びはどうなっているかな？
1番目：縦 2枚 × 横 3枚 ＝ 6枚
2番目：縦 3枚 × 横 4枚 ＝ 12枚
3番目：縦 4枚 × 横 5枚 ＝ 20枚
(1)で問われているのは5番目の枚数だからこのまま進めていくと･･。
4番目：縦 5枚 × 横 6枚 ＝ 30枚
5番目：縦 6枚 × 横 7枚 ＝ 42枚
もう答えが出たね！
はい、順番通りに考えれば簡単でした。
タイルの枚数をｎとした式にするとどうなるかな？
1番目をｎ＝１とすると、縦 2枚 （ｎ＋1）× 横 3枚（ｎ＋2）となるわ。
そうだね。なら2枚目以降も当てはめてみよう。
2番目はｎ＝２だから、縦 3枚 （ｎ＋1）× 横 4枚（ｎ＋2）
3番目はｎ＝３だから、縦 4枚 （ｎ＋1）× 横 5枚（ｎ＋2）
4番目はｎ＝４だから、縦 5枚 （ｎ＋1）× 横 6枚（ｎ＋2）
全て当てはまるね。
だから、5番目をｎ＝５として、縦 6枚 （ｎ＋1）× 横 7枚（ｎ＋2）としても枚数の計算ができるわ。
その通り！計算式は「 (ｎ+1)(ｎ+2) 」ということになる。･･･①
(2)に移るよ。白のタイルの枚数が132枚になるのは何番目の図形か？
(1)では全ての枚数だったけど(2)では色だけでしょ･･なんだか難しそう･･。
そんなことは無いよ！(1)を意識して図形をよく見てみよう。
あっ！全てのタイルの枚数から黒のタイル分を引けばいいんだ。
そう！良く気付いたね。黒のタイルの規則を考えてみよう。
1番目：縦 2枚 × 横 2枚
2番目：縦 3枚 × 横 2枚
3番目：縦 4枚 × 横 2枚
これをｎを使った形にすると･･。
縦（ｎ＋1）× 横 ２ の形になるわ。
そう！つまり「 2(n+1) 」の式ができるんだ。･･･②
そして、問題は全てのタイルから黒タイルを引いて132枚になる式だから･･。
式の形は「 ① (すべてのタイルの数)－ ② (黒のタイルの数) ＝ 132枚」
「 (ｎ+1)(ｎ+2) – 2(n+1) = 132」これを解けばいいのね。
n^2+3n+2-(2n+2)=132 カッコの展開に注意して式を進めよう。
「 n^2 + n = 132 」から、「 n^2 + n – 132 = 0 」になるのね。
かけて「-132」、たして「+1」になる数の組み合わせを考えよう。
132を素因数分解すると、「 2×2×3×11 」つまり「 12×11 」
12と11のどちらかにマイナスの符号が必要になるね。
たして+1だから小さい方の11にマイナスの符号がついて、(n+12)(n-11)＝0
これで式は解けたけど答えが2つ出たね･･。
答えとして該当するのは自然数「ｎ>０」だけなのよね。
その通り！途中式には必ず「ｎ>０より」もしくは「解は自然数となり」と明記しよう。（「○○は解としてふさわしくない」でもOK）
はーい、わかりました！
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